\documentclass[a4paper]{article}
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\title{\heiti\zihao{2} 习题1.2}
\author{\songti 中书君}
\date{\songti 2021年1月13日}
\begin{document}
\maketitle
\section{设$X=\{ a,b,c,d \}$,求映射$f:X \rightarrow X$,使得下列条件成立:}%1
 (1)$f(a)=b$,$f(c)=d$;(2)$f^{(2)}(x)=x$对一切$x\in X $成立.

\textbf{解} \quad
可令$f(a)=b,f(b)=a,f(c)=d,f(d)=c$.

\section{设$f(x)=\frac{2x}{1+x^{2}}$,求$f^{(3)}(x)$.}%2
\textbf{解} \quad
没有任何技巧.
$$
    f^{(3)}(x)=\frac{8x\{1+x^{2}[4x^{2}+(1+x^{2})^{2}]\}}{16x^{2}(1+x^{2})^{2}+[4x^{2}+(1+x^{2})^{2}]^{2}}=\frac{8x^{11}+104x^{9}+400x^{7}+400x^{5}+104x^{3}+8x}{x^{12}+34x^{10}+239x^{8}+476x^{6}+239x^{4}+34x^{2}+1}
$$
\par 上述式子仍能约分.

\section{求$f$和$g$的复合函数$f \circ g$,并指出定义域与值域:}
\subsection{$y=f(u)=\arcsin u, u=g(x)=x^{2}-1$}
\textbf{解} \quad
$f \circ g = \arcsin x^{2}-1$,定义域为$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$,
值域为$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$.

\subsection{$y=f(u)=\log _{2} u, u=g(x)=3^{x}$}
\textbf{解} \quad
$f \circ g = \log_{2}3^{x}$,定义域为:$(-\infty, +\infty)$,值域为:$(-\infty, +\infty)$

\subsection{$y=f(u)=\sqrt{u^{2}-1}, u=g(x)=\sec x$}
\textbf{解} \quad
$f \circ g = |\tan x|$,定义域:$\left( -\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi \right)$,
值域:$[0,+\infty]$.

此条在后面章节的积分中为基本代数变形.

\subsection{$y=f(u)=\cos u, u=g(x)=\tan x$}
\textbf{解} \quad
$f \circ g = \cos(\tan x)$,定义域:$\left( -\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi \right)$,
值域:$[-1,1]$.

\section{设$
      D(x)=\left\{\begin{array}{ll}
          1, & \text { 当 } x \text { 是有理数时 } \\
          0, & \text { 当 } x \text { 是无理数时 }
      \end{array},\right. \text { 是狄利克雷函数. }
  $}
\subsection{求复合函数$D\circ D(x)$;}
\textbf{解} \quad
显然$D\circ D(x)=1$

\subsection{求$D^{-1}(\{0\}),D^{-1}(\{1\}),D^{-1}(\{0,1\})$.}
\textbf{解} \quad
$D^{-1}(\{0\})=\{x|x\in R/Q \}, D^{-1}(\{1\})=\{x|x\in Q\}, D^{-1}(\{0,1\}) = \{x|x\in R\}$.

\section{证明:定义于 $(-\infty,+\infty)$ 上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和.}
\textbf{证} \quad
记
$$
h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\qquad g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}
$$
\par 即满足要求.

\textbf{注} \quad
此构造方式十分常用,可涉及到分析和代数以及诸多应用场景.

\section{证明:函数 $f(x)=x^{3}+p x+q(p>0)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的严格单调递增函数.}
\textbf{证} \quad
$\forall x_{1},x_{2} \in \mathbb{R},x_{1}<x_{2}$,则有
$$
\begin{aligned}
    f(x_{2})-f(x_{1})=(x_{2}-x_{1})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}+p)>0
\end{aligned}
$$
\par 从而有$f(x_{1})<f(x_{2})$,故函数严格单增.

\section{证明:函数 $f(x)=\sin x+\frac{1}{2} \sin 2 x+\frac{1}{3} \sin 3 x$ 是周期函数,并求它的最小正周期.}
\textbf{证} \quad
显然$2\pi$是其周期.

其周期可由函数单调性判别其值的正负性,得到$x \in [0,\pi]$时函数非负,
$x \in [\pi, 2\pi]$时函数非正,从而有$T\geqslant 2\pi$.而$2\pi$是其周期,
所以其最小正周期为$2\pi$.

\section{设 $X$ 是由 $n$ 个元素组成的集合,若映射 $f: X \rightarrow X$ 是一个单射,则称 $f$ 是 $X$ 的一个排列. 证明对任何排列 $f$,均有:}
\subsection{(1) $f(X)=X$; (2) $f^{-1}$ 存在. }
\textbf{证} \quad
由于像与原像的数量都是$n$,所以显然对任意排列都是一一映射,从而$f^{-1}$存在.

\subsection{进一步,试问 $X$ 共有多少个排列.}
\textbf{解} \quad
$A_{n}^{n}=n!$种.



\end{document}